Enjeux, cotes, rapports et TRJ: comment sont-ils liés?

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Il est important de comprendre ces différentes notions et les liens entre elles, pour comprendre comment sont calculés les gains.
Commençons par les notions les plus simples :
La cote est le coefficient multiplicateur permettant de calculer le bénéfice net, mise déduite donc.
Le rapport est quant à lui le coefficient multiplicateur permettant de calculer le gain, mise comprise donc.
On a donc:

    \[ \boxed{Rapport = Cote + 1} \]

Ainsi un cheval ayant une cote de 5 contre 1 sur lequel vous misez 10€ au jeu simple gagnant à un rapport de 6 et rapporte un gain de 60€.
Par abus de langage, on emploie souvent le terme de « cote » alors qu’au sens strict on parle en fait du rapport (et plus précisément du rapport probable, car le rapport définitif n’est connu qu’à la fin de la course).
Les enjeux sont quant à eux tout simplement, pour chaque pari, le total des mises des joueurs.

Passons maintenant à la notion la moins connue qu’est probablement le TRJ.
LE TRJ est le Taux de Retour aux Joueurs et détermine la partie des mises restituée aux joueurs par l’opérateur de pari, sur une période donnée (que ce soit pour les paris hippiques mais également pour les paris sportifs).
La loi de mai 2010 en France plafonne le TRJ à une moyenne de 85%, calculée sur 2 semestres consécutifs.
Dans le cas du PMU, les TRJ dépendent du type de pari, et sont calculables à partir des taux DPE (Déduction Proportionnelle aux Enjeux) communiqués officiellement dans le règlement du PMU. Ces taux DPE sont différents en online et en offline, les valeurs au 30 avril 2019 sont les suivantes :

On voit déjà sur ce tableau que tous les paris ne sont pas soumis aux mêmes taux, et qu’il y a également des différences en online et en offline ! C’est donc un élément important à avoir en tête avant même de mettre en place sa stratégie de jeu, même si d’autres facteurs interviennent sur l’enveloppe redistribuée, à commencer bien sûr par les enjeux, qui ne sont pas les mêmes suivant le canal (offline et online) et le type de pari.
En jeu simple et en online par exemple, on pourrait donc penser que le TRJ devrait être de 86,1%, le taux DPE étant de 13,9%. Mais nous constatons comme sur l’exemple que nous développons ci-dessous (tiré d’un cas réel de pari PMU du 1er avril 2019) que le TRJ réellement appliqué est différent. Ceci s’explique par le fait que le TRJ théorique (selon le règlement du PMU) est calculé en moyenne sur une période; le TRJ réel peut donc être plus ou moins élevé selon les courses. De plus pour les paris autres que le pari simple, le PMU applique une autre déduction, la DPR (Déduction Progressive sur Rapport), dépendant du type de pari et de la tranche dans laquelle se trouve le rapport gagnant.

Les termes étant maintenant définis, voyons comment ils sont liés et comment passer de l’un à l’autre.
C’est le rapport Ri du cheval i qui est payé lorsque celui-ci est gagnant.
Celui-ci s’obtient en divisant la somme totale redistribuée aux joueurs, par le total des enjeux sur le cheval i, noté ici ETi.
Par définition du TRJ, la somme totale redistribuée aux joueurs est égale à ET x TRJ, où ET est la somme totale des enjeux.
On a donc:

    \[ Ri= \frac{TRJ.ET}{ETi} \]

Ainsi, si le total des enjeux est ET=1000€, que le TRJ est de 85% et que le total des enjeux sur le cheval gagnant i est ETi=200€, alors le rapport en simple gagnant Ri est de 0,85*1000/200 soit 4,25.
Si vous avez misé 10€ vous êtes donc payé 42,5€. La cote est de 3,25 et votre bénéfice est de 32,5€.
Si vous êtes seul à avoir misé les 200€ sur le cheval i, alors vous remportez 850€, ce qui correspond bien à la somme redistribuée par le PMU, qui se garde 150€ sur les 1000€ d’enjeux totaux.

En notant maintenant Ei le pourcentage d’enjeux sur le cheval i, on a:

    \[ Ei= \frac{ETi}{ET} \]

et on peut alors réécrire la formule précédente ainsi:

    \[ Ri= \frac{TRJ}{Ei} \]

ce qui permet de déduire:

    \[ \boxed{Ei= \frac{TRJ}{Ri}} \]

L’enjeu en pourcentage est obtenu en divisant le TRJ par le rapport

Notons qu’on peut voir l’enjeu en pourcentage comme la probabilité de victoire du cheval considéré, résultante des paris et donc estimée globalement par les parieurs.

Le total des pourcentages d’enjeux étant égal à 1, on a:

    \[ \sum_{i}{Ei}=1 \]

et donc:

    \[ \sum_{i}{\frac{TRJ}{Ri}}=1 \]

ce qui permet d’aboutir à la formule suivante, qui définit le TRJ en fonction des rapports:

    \[ \boxed{TRJ= \frac{1}{\sum_{i}{\frac{1}{Ri}}}} \]

Le TRJ est égal à l’inverse de la somme des inverses des rapports

Prenons maintenant un exemple concret, avec les rapports probables online pour la course R4C8 du 1er avril 2019 à Reims, comptant 8 chevaux.
A partir de ces rapports on peut calculer cotes et enjeux en pourcentages, en appliquant les formules énoncées ci-dessus. On a alors:

Et on obtient ainsi TRJ= 83,23%.
Il s’agit du TRJ probable (avant l’arrivée de la course), puisqu’on se base ici sur les rapports probables (à 10min).

Comment calculer maintenant le TRJ réel?
On se base pour cela sur les enjeux, le nombre de mises gagnantes et les rapports définitifs communiqués après la course par le PMU:

Pour calculer le montant redistribué en simple gagnant, on doit multiplier le rapport SG par le nombre de mises gagnantes, et remultiplier par 1,5 (la mise de base étant à 1,5€, et le rapport étant donné pour 1€)
En simple placé, on doit faire la même chose pour chaque cheval et faire l’addition.
Sur notre exemple cela donne donc:

On en réduit les TRJ réellement appliqués par le PMU sur cette course:
En simple gagnant: TRJ=14117/17028 soit TRJ=82,9% (légèrement inférieur au TRJ probable donc)
En simple placé: TRJ=11835/13831 soit TRJ=85,57%

Et voilà, TRJ, cotes, rapports et enjeux ne devraient maintenant plus avoir de secrets pour vous!