L’espérance de gain

Une notion importante à comprendre pour mieux parier est celle de l’espérance de gain.
Mathématiquement l’espérance d’une variable aléatoire X prenant un nombre fini de valeurs X1, X2, … Xn est définie par:

   

où P(X=Xi) est la probabilité que X prenne la valeur Xi.

Appliquons ceci au cas d’un pari en jeu simple gagnant.
On prend comme hypothèse ici que la probabilité que le cheval i arrive gagnant est directement proportionnelle aux enjeux des joueurs sur le cheval i. Comme expliqué ici cette probabilité est donc

   

En Simple gagnant la stratégie d’un joueur se résume au choix des sommes Mi qu’il va miser sur chacun des n chevaux de la course (Mi étant égal à 0 lorsque le joueur ne veut pas jouer le cheval i).
L’espérance de gain au jeu simple gagnant est donc dans l’hypothèse prise:

   

soit:

   

On parle ici du gain brut, il faut soustraire la mise pour avoir le bénéfice.
On voit donc qu’en supposant que les probabilités sont proportionnelles aux enjeux des joueurs, un joueur qui mise la somme totale M, quelle que soit sa répartition sur les chevaux de la course, a une espérance de gain de TRJ.M: il est perdant à terme car son espérance est de récupérer 85% de sa mise (le TRJ en jeu simple gagnant étant aux environs de 85%).

La bonne nouvelle est que l’on sait par expérience que cette hypothèse prise est fausse: les probabilités ne sont pas proportionnelles aux enjeux (ou aux rapports ou aux cotes, eux-mêmes proportionnels aux enjeux) au jeu simple gagnant.

En revanche si on suppose que les probabilités de ce jeu sont déterminables ou en tout cas estimables par une autre méthode ne faisant par intervenir les enjeux (ou rapports, ou cotes) de façon proportionnelle, alors l’espérance de gain va a priori bien dépendre des mises et des rapports.
C’est donc a priori le cas si on utilise une des méthodes de création de matrice de probabilité , autre que la matrice par côte, puisqu’on vient de voir que celle-ci aboutit à une espérance négative.

Nous avons vu ici comment calculer une espérance de gain, sur un cas simple.
Celle-ci pourra être beaucoup plus complexe à écrire dans le cas où nous faisons intervenir des hypothèses de probabilités plus complexes à modéliser, et dans le cas où nous ne jouons pas au simple gagnant mais où nous jouons des paris plus complexes, et notamment des combinaisons de plusieurs paris, au sein d’une stratégie de paris.
Dans tous les cas nous chercherons toujours à optimiser mathématiquement cette espérance de gain lors de l’établissement d’une stratégie de jeu, puis nous calculerons le gain réel de la stratégie en appliquant un backtest.